By D. G. Northcott

ISBN-10: 0521299764

ISBN-13: 9780521299763

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Xn + yn ), (x1 , . . , xn ) · (y1 , . . , yn ) = (x1 · y1 , . . , xn · yn ) beschrieben wird. Null- bzw. Einselement werden gegeben durch die Elemente 0 = (0, . . , 0) bzw. 1 = (1, . . , 1). Die Gleichung (1, 0, . . , 0) · (0, 1, . . , 1) = 0 zeigt, dass Rn ff¨ ur n ≥ 2 im Allgemeinen nicht-triviale Nullteiler besitzt, auch wenn R selbst ein Integritatsring ist. Man nennt Rn das n-fache ringtheoretische ¨ Produkt von R mit sich selbst. Allgemeiner kann das ringtheoretische Produkt P = Rx x∈X einer Familie von Ringen (Rx )x∈X gebildet werden.

Bezeichnet man mit a, b ∈ R/p die Restklassen zu Elementen a, b ∈ R, so ist a·b∈p = =⇒ a ∈ p oder b ∈ p a·b=0 = =⇒ a = 0 oder b = 0. offenbar aquivalent zu ¨ Weiter ist Aussage (ii) eine Konsequenz der beiden folgenden Lemmata: Lemma 9. Ein Ideal m ⊂ R ist genau dann maximal, wenn das Nullideal 0 ⊂ R/m maximal ist. Lemma 10. Das Nullideal 0 ⊂ R eines Ringes R ist genau dann maximal, wenn R ein Korper ist. ¨ Beweis von Lemma 9. Sei π : R −→ R/m die kanonische Projektion. Man pruft ¨ leicht nach, dass die Zuordnungen R ⊃ a −→ π(a) ⊂ R/m, R ⊃ π −1 (b) ←− − b ⊂ R/m, eine Bijektion definieren zwischen den Idealen a von R mit m ⊂ a ⊂ R und den ¨ Idealen b ⊂ R/m.

Aufgaben 1. Es sei ϕ : R −→ R ein Ringhomomorphismus. Welche Aussagen gelten fur f¨ die Bilder von Idealen a ⊂ R bzw. die Urbilder von Idealen a ⊂ R ? Man untersuche diese Frage insbesondere auch ffur ¨ Primideale und maximale Ideale. 2. Es sei R ein Ring. F¨ ur x ∈ R betrachte man den Einsetzungshomomorphismus ϕx : R X −→ R, ai X i −→ ai xi . insbesondere, wann dieser ein Man beschreibe den Kern von ϕx und uberlege ¨ Primideal bzw. ein maximales Ideal in R X ist. 3. 2/9 auf die Ringsituation, ¨ indem man Ringe statt Gruppen und Ideale statt Normalteiler betrachte.

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A first course of homological algebra by D. G. Northcott

by Michael

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